奇点研究

奇点和正则点的定义，联系，区别。我认为正则点最好的性质都来自于反函数定理。在正则点附近，反函数定理说明其实光滑映射作用在它的正则点附近，并不能改变原来的东西太多，原来该是什么样，映过去之后，差不多还是什么样子的。它们是一些非常听话的点，所以相应的也比较好研究，因为有很强的规律性可循。奇点就是与正则点相对的，不能符合反函数定理要求的那些点。所幸的是，根据sard定理，这些点对映射过去的图像造成的破坏还好不是太多，它是一个Lebesgue测度为零的集合（但是，这个集合也可能非常大）。这对这些点的研究来说，R.Thom的工作是开创性的，因为他给出了横截的概念，这个概念之下，我们可以假性的认为一部分奇点符合类似反函数定理的要求，所以可以按照研究类似正则点的方式去研究这类奇点，但是要对它们进行一些适当的补充。对这些点的研究也取得了比较好的结果，并且顺着横截的思路，数学家们也给出了很多研究微分拓扑学，微分几何学的非常有力的工具。从横截性条件我们可以看出，实际上我们是非常希望尽可能多的奇点满足一种类似与正则点的性质的。而对一些不满足横截条件奇点的研究，我们也只好另辟蹊径。
所以目前所采用的学习和研究奇点理论的方法大部分就是，给奇点加一些适当的限制条件，使得奇点在这些限制条件下的性质还不至于复杂到不可能研究的程度，或者说，已有的一些工具或者方法可以对这些符合限制条件的奇点进行一些归类，降阶。这样，研究奇点的工作也有显得更加具有目的性和层次性了。一些很有力的条件比如低余维，横截性条件就能给研究工作带来极大方便，也给下一步可能在拓扑上更加复杂更加怪异的奇点研究提供了理论准备，尽管这些奇点本身所能引起的拓扑结构（微分，连续）变化是相当复杂的。这里有一个很具体的例子不得不提：1966年，E.Briekorn利用奇点构造了一个拓扑结构上相当复杂的所谓的7维怪球，它拓扑同胚于标准7维球面（所以它也称为是一个球面），但是居然不是微分同胚于7维球面的。这个拓扑球被称为7维怪球[3]。这从本质上来讲是一件非常深刻的事情，它说明在7维拓扑球这个集合中，至少存在着两种完全不同的微分结构！
试想一下，在一个被人们所认为拓扑结构上最最简单的球面上，都存在着这么深刻的结果，更何况是其它的比较复杂的拓扑曲面！（我不知道一般的c-w复形上究竟会有多少微分结构，不过肯定结果是惊人的）那让我们在更进一步，看看是什么从本质上引起了这个怪异的现象的发生。前文提到，E.Briekor构造这个具体例子的时候，主要利用的是一个解析函数的解集合组成的超平面和9维标准球面的交集构造而成的。这个超平面经过验证可以知道，它以原点为孤立奇点。从这个构造过程中不难看出，奇点在这里起到的关键性作用。不难看出，正是因为这个关键的奇点诱导了这个怪球的不同的微分结构。
从这个例子，可以看出奇点附近的拓扑结构是很复杂的。本质原因就是某光滑函数在它的这些奇点不符合反函数定理的要求，所以奇点临域的映射规则就具有很大的可塑性，没有如正则点一样的严格限制。在这样的条件下，奇点及其临域在光滑映射下得像可能会出现各种各样的现象。7维怪球仅仅是其中的一个例子，但是从这个简单的例子就可以看出奇点给我们带来的复杂性。这样，研究这类复杂性奇点的手段就必须要十分先进了。
首先必须明确的是，我们感兴趣的函数在它的奇点附近的一个任意小的临域中的性态，至于这个临域到底是什么，并不重要，这个时候，要选择函数芽的语言来描述最为合适。函数的芽大概就是这么一个光滑映射的等价类，这些映射共同特点就是在一个共同的小临域内，他们的映射值相等。我们不去管这个临域究竟有多么小，只要存在这么一个临域，就说这两个光滑映射等价。由这些等价类组成的映射的商集就是函数芽了。由此可以看出，函数芽的概念突出的是函数在某一点的局部特性。有了芽的概念，就可以自然的引入右等价的概念。大概可以理解为存在一个双全纯同胚，就是常说的共形映射，是的一个函数芽可以通过另一个函数芽复合这个共形映射得到。在右等价条件下，所有不含奇点的芽都是平凡的。
从上面的描述可以看出来，只有对奇点的芽来说，右等价才是有趣的。奇点理论的一个目标，就是将这些奇点的芽在右等价条件下进行分类。这实际上是相当困难的，和以往一样，我们要先从比较简单的情况下一步步深入。由著名的Morse引理可以知道，如果函数芽以原点为奇点，而且芽在原点的Hessian阵非退化，那么它就右等价于一个比较标准的函数芽。这个例子虽然已经被解决得很好了，但是我们必须看到Hessian阵非退化实在是一个太强的条件了，为了更加深入地对函数芽进行分类，我们必须将理论深入下去。
给出一个所谓形变的定义。形变大概说的就是给函数芽加上一些参数，这些参数刚开始都是原始状态的时候，函数芽没有什么形变，之后随着参数的变化，函数芽也就开始变化。这里要注意的是，函数芽的形变对这些参数是有光滑依赖的。从这个意义上来说，函数芽形变的过程，实际上就是对函数芽进行光滑的扰动的过程。形变对高阶奇点的分类起到的作用是相当巨大的。因为一个高阶奇点在一个小扰动下，会散落成若干个一阶奇点[4]。
为了对奇点进行更加细致的分类，要给出简单奇点的定义。所谓简单奇点，就是这样一个函数芽，它的任意形变的右等价所组成的集合是一个有限集合。也就是说无论怎么扰动这个奇点，在右等价条件下，最多仅能产生出有限个新函数芽来。所谓的简单奇点，可以有一个比较好的分类，这个结果是Arnold在1972年给出来的。它的叙述简单来说就是一个奇点函数芽是简单奇点的充要条件就是它右等价于A，D，E三大类的函数芽。这个结果可能是20世纪最伟大的数学发现之一。有了这样一个分类，对研究函数芽的意义是重大的。
简单看看奇点理论在别的纯数学分支中的应用。类似于7维怪球的构造，我们仍然考虑原点为奇点的一个以解点为元素的超平面(考虑的是f的解)。设K是它和一个以原点为中心的非常小的小球（2n-1维）的交集，在这个交集里面，O是唯一的奇点。很容易看出K是一个2n-3维的光滑流形。我们在这个小球内去掉K得到U，这样就可以定义一个f的标准化P：一个从U到一维球面的映射。这样，我们就可以给出Milnor纤维化的定义。大概是这么说的：p是一个光滑的纤维丛，其纤维是一个2n-2维的光滑流形（验证）。P称为是Milnor纤维化。这样，就可以揭示奇点理论和半单李代数之间的关系了。从这里也可以看出奇点理论的深刻性。它的重要思路就是利用所谓的奇点把一个空间进行了有效分解。通过这样的分解，空间的形式和结构就更加直观和明显了。
奇点在扰动下的性态时研究奇点理论的重要内容，它对数学的很多方面都非常有效和重要，比如方程解的几何理论，泛函分析理论，调和分析理论等。给一个映射添加一个扰动项，或者在一定范围内使其形变，从而扩大研究的范围。伴随的方式常常是考虑同伦扩张，或者是上同调。同伦的基本思路就是在原来映射的基础上再加一个方向的连续移动，之后这个映射就开始发生了一个连续渐变的过程，由于我们更加关注奇点左右的性质，所以可以让一个光滑映射在它的奇点左右发生伦移，在伦移过程中考虑奇点芽的共形等价类问题，这就是解决一类扰动方程奇异解问题的基本思路。在这里可以看出来的是，由于奇点本身所具有的特殊性，光滑映射添加一个小的扰动肯定是更加复杂的。我们所能做的就是尽量把这个复杂度控制下来，采用的方法还是去逐步限制奇点的条件。这时候，横截性等条件又变的很重要了。可以想象，如果没有横截这么好的条件的时候，我们可以再把限制放宽，只是目前相关方面的理论研究还没有形成系统。
下一个例子就是关于奇异积分算子，这里无穷远点是自然的奇点。研究奇异积分算子的时候，很自然的想法就是把算子增加比较快的地方用一个有界的二进方体套进来。至于这个算子的奇异性，则被限制到一个比较小的空间内，这样对前面的算子就形成了一个比较小的扰动，这样这个奇异积分算子的性质就可以被估计出来了。这里要说明的是对奇点的研究可能思路是平凡的。就是把可能发生问题的地方限制到最小和最底部，尽管用到的工具很可能是比较新而且复杂的。也可以体会到，在研究奇点理论的时候，很多东西都是一类一类研究的，而不是研究单个的某个映射。因为在谈奇点理论的时候，用的主要是芽的语言，还有形变。形变过程中，由这些参数光滑形成的都是一族奇点芽，所以考虑的同样是一族映射的性质。这说明奇点理论本身就是从整体考虑的。